ریاضیدانان با روشی الهام‌گرفته از یک بازی ساده، تعریفی نو برای اعداد اول ارائه کرده‌اند که می‌تواند نگاه ما به ساختار این اعداد را متحول کند.
به گزارش آب و غذا به نقل از زومیت ، اعداد اول شاید در نگاه اول ساده به‌نظر برسند، اما همین سادگی، یکی از سخت‌ترین چالش‌های دنیای ریاضیات را شکل داده است. تشخیص اول بودن یک عدد کوچک معمولاً کار دشواری نیست، اما وقتی با اعدادی با میلیون‌ها رقم سروکار داشته باشیم، ماجرا کاملاً فرق می‌کند. در چنین مواردی، بدون استفاده از الگوریتم‌های دقیق و قدرت پردازشی بالا، بررسی این اعداد عملاً غیرممکن خواهد بود.
در مقاله‌ی پیش‌رو، قصد داریم به دنیای شگفت‌انگیز شکارچیان اعداد اول بسیار بزرگ وارد شویم؛ اعدادی که حتی نمی‌توان آن‌ها را به‌طور کامل روی یک صفحه‌نمایش دید. از ماجرای کشف بزرگ‌ترین عدد اول شناخته‌شده تا معرفی روشی نوآورانه برای تشخیص اول بودن اعداد، قرار است با بعضی از جالب‌ترین ایده‌های ریاضی و پشت‌صحنه‌ی هیجان‌انگیزترین کشف‌های مربوط به این غول‌های نامرئی آشنا شویم.
ماجرای کشف بزرگ‌ترین عدد اول جهان
اعداد اول از جمله مفاهیم بنیادینی هستند که از دوران باستان تاکنون ذهن ریاضیدانان را به خود مشغول کرده‌اند. این اعداد، ظاهراً ساده‌اند: عددِ طبیعیِ بزرگ‌تر از یک که تنها بر خودش و عدد یک بخش‌پذیر است. به‌عنوان مثال عدد ۷ عددی اول است، زیرا بر هیچ عدد صحیحی به‌جز ۱ و ۷ بخش‌پذیر نیست. در مقابل، عددی مانند ۹، چون بر ۳ بخش‌پذیر است، عدد اول نیست. اما پشت این تعریف ساده، دنیایی از پیچیدگی‌های ریاضی نهفته است.
در اعداد کوچک، تشخیص اول بودن یا نبودن معمولاً کار دشواری نیست. کافی است بررسی کنیم که آیا عدد مورد نظر بر عددی غیر از ۱ و خودش بخش‌پذیر است یا نه؛ اما همین مسئله، زمانی که با اعدادی بزرگ‌تر و چندرقمی سروکار داریم، به چالشی واقعی تبدیل می‌شود. هرچه عدد بزرگ‌تر باشد، آزمایش‌های لازم برای بررسی اول بودن آن نیز به‌مراتب دشوارتر و زمان‌برتر می‌شوند. به همین دلیل، ریاضیدانان ناچارند از الگوریتم‌ها و روش‌های پیشرفته‌تری استفاده کنند که بتوانند در زمان مناسب، پاسخ قابل قبولی ارائه دهند.
بزرگ‌ترین عددِ اول کشف‌شده تاکنون، عددی با ساختار خاص به‌صورت زیر است که بیش از ۴۱ میلیون رقم دارد:
بزرگ‌ترین عدد اول کشف‌شده تاکنون
این عدد یکی از اعداد مرسن است که به‌شکل ۲ به توان یک عدد اول، منهای ۱ نوشته می‌شود. اعداد مرسن بسیار بزرگ هستند و تنها در صورتی می‌توانند اول باشند که توان آن‌ها خودش یک عدد اول باشد. این عدد در ۱۲ اکتبر ۲۰۲۴ توسط یکی از داوطلبان پروژه‌ی جهانی Great Internet Mersenne Prime Search یا GIMPS کشف شد؛ پروژه‌ای داوطلب‌محور که در آن هزاران کامپیوتر شخصی در سراسر جهان برای یافتن اعداد اول غول‌پیکر با هم همکاری می‌کنند.
برای تأیید اول بودن این عدد، از آزمون لوکاس–لهمر (Lucas–Lehmer Test) استفاده شد؛ روشی بسیار سریع و تخصصی که برای بررسی اول بودن اعداد مرسن طراحی شده است. این آزمون به‌جای جست‌وجوی فاکتورها، با محاسبه‌ی یک دنباله‌ی عددی خاص، بررسی می‌کند که آیا مقدار نهایی باقی‌مانده صفر است یا نه. اگر نتیجه صفر باشد، عدد مرسن قطعاً اول است
اعداد اول همچنان از پیچیده‌ترین و رازآلودترین ساختارهای دنیای ریاضیات هستند و حتی با ابرکامپیوترها نیز نمی‌توان الگوی مشخصی در پراکندگی آن‌ها یافت
به عنوان مثال، اگر بخواهیم بررسی کنیم که آیا عدد مرسن ۱-۲⁷ یعنی ۱۲۷ یک عدد اول است یا نه، از آزمون لوکاس–لهمر استفاده می‌کنیم. ابتدا دنباله‌ای را با عدد ۴ آغاز می‌کنیم. سپس در هر مرحله، مقدار مرحله‌ی قبل را به توان دو می‌رسانیم، عدد ۲ را از آن کم می‌کنیم و فقط باقی‌مانده‌ی تقسیم نتیجه بر ۱۲۷ را نگه می‌داریم. این روند را به‌مدت ۵ مرحله (یعنی ۲-۷ بار) ادامه می‌دهیم.
اگر پس از پایان مرحله‌ی پنجم، مقدار نهایی برابر با صفر شود، عدد مرسن ما (۱۲۷) قطعاً یک عدد اول است. در این مثال، واقعاً مقدار نهایی صفر به‌دست می‌آید؛ بنابراین، عدد ۱۲۷ با موفقیت این آزمون را پشت سر می‌گذارد و به‌عنوان یک عدد اول مرسن شناخته می‌شود.
بزرگی این عدد به‌حدی است که نه‌تنها نوشتن آن روی کاغذ، بلکه حتی نمایش کاملش روی صفحه‌نمایش یک کامپیوتر معمولی نیز عملاً غیرممکن خواهد بود. بااین‌حال، در مقیاس بی‌نهایت اعداد طبیعی، این عدد، ناچیز به‌نظر می‌رسد؛ چراکه اعداد اول پایانی ندارند و در هر بازه‌ای، حتی در دل بزرگ‌ترین اعداد، همچنان می‌توان نمونه‌هایی از آن‌ها را یافت.
اهمیت اعداد اول فراتر از جنبه‌های نظری و زیبایی ریاضی آن‌ها است. این اعداد نقشی حیاتی در معماری رمزنگاری نوین دارند و زیربنای بسیاری از سامانه‌های امنیتی دیجیتال هستند. از انتقال امن اطلاعات بانکی تا ارتباطات رمزگذاری‌شده در فضای مجازی، همگی به ویژگی‌های منحصربه‌فرد اعداد اول متکی‌اند. دشواری تجزیه‌ی اعداد بسیار بزرگ به عوامل اول و همچنین غیرقابل پیش‌بینی بودن الگوی توزیع آن‌ها، باعث می‌شود اعداد اول به یکی از ستون‌های اصلی حفظ امنیت داده‌ها در جهان دیجیتال تبدل شوند.
باوجود پیشرفت‌های چشمگیر در ریاضیات و علوم کامپیوتر، الگوی دقیق پراکندگی اعداد اول همچنان یکی از معماهای حل‌نشده‌ی ریاضیات باقی مانده است. این راز دیرینه، بی‌تردید در آینده الهام‌بخش پژوهش‌ها و اکتشافات تازه خواهد بود.
تعریفی نو از عدد اول؛ گامی انقلابی در فهم نظم پنهان اعداد
ریاضیدانان، تنها به بررسی تک‌تک اعداد برای تشخیص اول بودن آن‌ها رضایت نمی‌دهند. این کار نه‌تنها خسته‌کننده و زمان‌بر است، بلکه نمی‌تواند به پرسش‌های بنیادی درباره‌ی ماهیت اعداد اول پاسخ دهد.
به‌گفته‌ی کن اونو، ریاضیدان برجسته‌ی دانشگاه ویرجینیا: «ما به اعداد اول علاقه‌مندیم، چون بی‌نهایت هستند، اما شناسایی الگوهای مشخص در آن‌ها یکی از دشوارترین چالش‌های ریاضی است». در واقع، یکی از اهداف اساسی در این زمینه، کشف نحوه‌ی توزیع اعداد اول در میان سایر اعداد طبیعی است؛ اینکه این اعداد دقیقاً چگونه در دل بی‌نهایت عدد پراکنده شده‌اند و آیا نظمی پنهان در پسِ ظاهر تصادفی‌شان وجود دارد یا نه.
در همین راستا، اونو به‌همراه دو همکارش، ویلیام کریگ از آکادمی نیروی دریایی ایالات متحده و یان-ویلم فن اترسوم از دانشگاه کلن آلمان، موفق شده‌اند روشی کاملاً جدید برای شناسایی اعداد اول توسعه دهند؛ روشی که به‌کلی با شیوه‌های سنتی فاصله دارد. آن‌ها مجموعه‌ای بی‌نهایت از معیارهای دقیق و نوآورانه برای تعریف اعداد اول ارائه کرده‌اند. برخلاف رویکرد رایجی که صرفاً می‌گوید اگر عددی را نتوان به عوامل کوچک‌تر تجزیه کرد، پس احتمالاً اول است؛ روش این پژوهشگران بر ساختارهای بنیادی‌تر و روابط دقیق‌تری تکیه دارد.
کن اونو توضیح می‌دهد که معیارهای جدید ارائه‌شده، تعریفی دقیق، قابل اثبات و عمیق از مفهوم «عدد اول» ارائه می‌دهند؛ تعریفی که دیگر صرفاً بر آزمون‌های عددی و تلاش برای تجزیه‌ی اعداد، تکیه ندارد. مقاله‌ی این پژوهش در نشریه‌ی معتبر Proceedings of the National Academy of Sciences USA منتشر شده و به‌عنوان یکی از آثار برجسته در حوزه‌ی علوم فیزیکی، به مرحله‌ی نهایی رقابت‌های علمی سال راه یافته است.
به گفته‌ی اونو، این دستاورد نه‌تنها افق تازه‌ای در درک اعداد اول می‌گشاید، بلکه مجموعه‌ای بی‌پایان از تعاریف نوین برای این پدیده‌ی بنیادین ریاضی ارائه می‌دهد؛ تعاریفی که می‌توانند نگاه ما به ساختار و نظم پنهان در دنیای اعداد را به‌کلی متحول کنند.
از بازی با اعداد تا کشف الگوهای پنهان در اعداد اول
در قلب رویکرد جدید این تیم پژوهشی، مفهومی به نام افراز عدد طبیعی (Integer Partitions) قرار دارد. کن اونو در توضیح این ایده می‌گوید: «نظریه‌ی افراز عدد طبیعی قدمتی طولانی دارد و ریشه‌های آن به قرن هجدهم و ریاضیدان برجسته‌ی سوئیسی، لئونارد اویلر، بازمی‌گردد. از آن زمان تاکنون، این شاخه از ریاضی بارها گسترش یافته و دقت آن افزایش پیدا کرده است.»
افراز عدد طبیعی، با همه‌ی سادگی‌اش، به ابزاری قدرتمند برای تشخیص اعداد اول تبدیل شده است؛ پلی میان ریاضیات کلاسیک و پیشرفته
افراز عدد طبیعی، در نگاه اول شاید بسیار ساده و حتی کودکانه به‌نظر برسد. اونو با لحنی توأم با طنز می‌گوید: «افراز، در ظاهر، شبیه بازی با اعداد است. اینکه با چند روش می‌توان اعداد کوچک‌تر را با هم جمع کرد تا به یک عدد مشخص رسید.» اما پشت همین سادگی ظاهری، ساختارهایی پیچیده و پرکاربرد پنهان شده‌اند. افراز یعنی نوشتن یک عدد به‌صورت مجموع اعداد کوچک‌تر، مثل روش‌های مختلف جمع زدن تا رسیدن به ۵. این عدد را می‌توان به هفت روش مختلف از مجموع اعداد کوچک‌تر به‌دست آورد:
- 4 + 1
- 3 + 2
- 3 + 1 + 1
- 2 + 2 + 1
- 2 + 1 + 1 + 1
- 1 + 1 + 1 + 1 + 1
- و البته خود ۵ نیز می‌تواند به‌تنهایی به‌عنوان یک جزء در نظر گرفته شود (در برخی تعریف‌ها).
مفهوم افراز عددی، با وجود سادگی و ظاهر کلاسیک خود، دربردارنده‌ی الگوهایی عمیق و پنهان در ساختار اعداد است. کن اونو و همکارانش با بهره‌گیری از ویژگی‌های خاص این ساختارها، موفق به توسعه‌ی روشی نوین برای شناسایی اعداد اول شده‌اند؛ روشی که برخاسته از نظریه‌ی ترکیبیات است، اما تاکنون در این زمینه مورد استفاده قرار نگرفته بود.
آن‌ها نشان داده‌اند که تابع افراز، فراتر از یک ابزار شمارشی، می‌تواند به‌عنوان معیاری دقیق برای تمایز میان اعداد اول و مرکب به کار گرفته شود. این دستاورد، با حفظ پیوند با سنت‌های کلاسیک ریاضی، افقی تازه برای تحلیل خواص اعداد طبیعی گشوده است.
شناسایی اعداد اول با افرازهای عددی؛ انقلابی تازه در نظریه اعداد
ایده‌ی این پژوهش از سؤالی آغاز شد که رابرت اشنایدر، دانشجوی سابق کن اونو و استاد فعلی ریاضیات در دانشگاه فناوری میشیگان، مطرح کرده بود. او با بررسی دقیق‌تر رفتار تابع افراز، پیشنهاد کرد که به‌جای تکیه بر روش‌های سنتی مثل تجزیه‌ی عدد به عوامل اول، می‌توان از ویژگی‌های درونی این تابع برای شناسایی اعداد اول استفاده کرد. همین نگاه، پایه‌ی رویکردی شد که با تحلیل الگوهای افرازی، امکان تمایز میان اعداد اول و مرکب را فراهم می‌کند.
منظور از تابع افراز، تابعی است که برای هر عدد صحیح، تعداد حالت‌هایی را می‌شمارد که در آن می‌توان آن عدد را به مجموع اعداد طبیعی کوچک‌تر از خودش تقسیم کرد (بدون در نظر گرفتن ترتیب جمع). این تابع، در نگاه اول صرفاً یک ابزار شمارشی است، اما اشنایدر نشان داد که برخی از ویژگی‌های جبری و حسابیِ آن، مانند رفتار پیمانه‌ای (modular behavior) و هم‌نهشتی‌های خاص، می‌توانند با ویژگی‌های اعداد اول ارتباط داشته باشند.
جورج اندروز، ریاضیدان دانشگاه ایالتی پنسیلوانیا و ویراستار مقاله، این کشف را پدیده‌ای کاملاً جدید و دور از انتظار توصیف کرده است؛ موضوعی که به‌دلیل تازگی‌اش نمی‌توان به‌راحتی پیش‌بینی کرد در آینده چه تأثیری خواهد داشت یا به کدام شاخه‌ها راه پیدا می‌کند.
این کشف فقط به تحلیل الگوهای توزیع اعداد اول محدود نمی‌شود، بلکه مستقیماً سراغ خود اعداد اول می‌رود و آن‌ها را با دقتی بالا شناسایی می‌کند. در این روش، اگر عدد صحیحی بزرگ‌تر یا مساوی دو را در یک معادله‌ی خاص قرار دهیم و آن معادله برقرار باشد، آن عدد حتماً یک عدد اول است. برای نمونه، یکی از این معادلات از ترکیب توابع افرازی مشهور ساخته شده که شکل کلی آن چنین است:
(3n³ − 13n² + 18n − 8)M₁(n) + (12n² − 120n + 212)M₂(n) − 960M₃(n) = 0
در این معادله، M₁، M₂ و M₃ توابع افراز هستند؛ یعنی توابعی که در نظریه‌ی اعداد نقش مهمی ایفا می‌کنند.
جذاب‌ترین بخش ماجرا اینجا است که پژوهشگران نشان داده‌اند بی‌نهایت معادله‌ی مشابه با ضرایب ثابت وجود دارند که می‌توان با استفاده از آن‌ها، اول بودن یک عدد را دقیقاً تشخیص داد. به بیان ساده‌تر، این روش، مجموعه‌ای بی‌پایان از تعاریف ریاضی تازه و قابل اعتماد برای شناسایی اعداد اول در اختیار قرار می‌دهد؛ موضوعی که از نظر علمی بسیار قابل توجه و متمایز است.
یافته‌های این پژوهش می‌توانند فراتر از مرزهای نظریه‌ی اعداد حرکت کنند و الهام‌بخش مسیرهای تازه‌ای در ریاضیات شوند. یکی از جذاب‌ترین جنبه‌های این کار، توجه به توابع ترکیبیاتی است؛ توابعی که در ظاهر تنها برای شمارش حالت‌های مختلف چینش یا انتخاب عناصر به‌کار می‌روند، اما در واقع می‌توانند حامل اطلاعات عمیق‌تری درباره‌ی ساختارهای جبری یا تحلیلی پنهان در ریاضیات باشند. این پژوهش نشان می‌دهد که در دل همین ابزارهای ساده‌ی شمارشی، روابط پیچیده و پیش‌بینی‌نشده‌ای نهفته است که شاید در شاخه‌های دیگر نیز کاربرد داشته باشند.
الگوهای پنهان در افراز عددی، به ابزارهایی دقیق برای تمایز اعداد اول از مرکب تبدیل شده‌اند
ادامه‌ی این مسیر پژوهشی می‌تواند به کشف ساختارهای تازه‌ای در ریاضیات بینجامد که بر پایه‌ی توابع افراز بنا شده‌اند. یکی از پرسش‌های مهم در این زمینه آن است که آیا نتایج به‌دست‌آمده فقط برای شناسایی اعداد اول کاربرد دارند یا می‌توان آن‌ها را به دیگر دنباله‌ها، مانند اعداد مرکب یا مقادیر مربوط به توابع حسابی نیز تعمیم داد. بررسی این احتمال‌ها نه‌تنها دریچه‌های جدیدی را در نظریه‌ی اعداد می‌گشاید، بلکه می‌تواند پیوندهای عمیق‌تری میان شاخه‌های مختلف ریاضی برقرار کند.
رازهای حل‌نشده اعداد اول؛ از حدس دوقلوها تا جادوی گلدباخ
باوجود این پیشرفت‌ها، دنیای اعداد اول هنوز پر از پرسش‌های باز و پیچیده است که قرن‌هاست ذهن ریاضیدانان را به خود مشغول کرده‌اند.
از جمله‌ی این پرسش‌ها می‌توان به حدس دوقلوهای اول اشاره کرد که بیان می‌کند بی‌نهایت زوج عدد اول وجود دارند که تنها دو واحد از هم فاصله دارند، مانند ۵ و ۷ یا ۱۱ و ۱۳. یا حدس معروف گلدباخ که می‌گوید هر عدد زوج بزرگ‌تر از ۲ را می‌توان به‌صورت مجموع دو عدد اول نوشت. با آنکه این دو حدس بارها برای مقادیر بزرگ بررسی شده‌اند و نشانه‌هایی از درستی آن‌ها وجود دارد، تاکنون هیچ‌کس موفق نشده است اثباتی کامل و قطعی برای آن‌ها ارائه دهد.
یافته‌ی اخیر تیم کن اونو این مسائل را مستقیماً حل نمی‌کند، اما نشان می‌دهد که چگونه ریاضیدانان با ابزارهای جدید و رویکردهای خلاقانه، مرزهای دانش را گسترش می‌دهند تا به درک بهتری از رفتار اسرارآمیز اعداد اول برسند؛ رفتاری که همچنان یکی از رازآلودترین جنبه‌های نظریه‌ی اعداد باقی مانده است.